I n t r o d u c c i ó n
Esta materia como su nombre lo dice “Habilidades del pensamiento”, nos enseña a mantener la mente diestra, competente, experta, una mente ingeniosa, que siempre encuentre la manera de solucionar toda clase de problemas, por muy largos o complicados que se vean y de cualquier índole ya sean: matemáticos, físicos, químicos, problemas diarios, etcétera, todo tipo de dificultad, siempre buscar y encontrar el procedimiento para darle salida.
Y que a pesar de ver puertas cerradas, encontrar la que este abierta, o dar con la llave.
Esta doctrina nos ilustra a superar cualquier obstáculo en nuestra vida cotidiana y es y será de mucho auxilio en nuestra carrera.
Las matemáticas no son para aprenderlas, sino para entenderlas, para razonarlas.
Alumno:
María De Jesús Castillo De Los Ríos.
sábado, 9 de mayo de 2009
CONCLUSIÓN
C o n c l u s i ó n
Las matemáticas no son para aprenderlas, son para razonarlas, son para entenderlas,
Las matemáticas estimulan las habilidades del pensamiento.
Y como en todo lo largo de nuestra vida utilizamos las matemáticas, esta asignatura es una herramienta importantísima en nuestro caminar.
Alumno:
María De Jesús Castillo De Los Ríos.
Las matemáticas no son para aprenderlas, son para razonarlas, son para entenderlas,
Las matemáticas estimulan las habilidades del pensamiento.
Y como en todo lo largo de nuestra vida utilizamos las matemáticas, esta asignatura es una herramienta importantísima en nuestro caminar.
Alumno:
María De Jesús Castillo De Los Ríos.
OPERACIONES CON SUCESOS Y PERMUTAS
Operaciones con sucesos
Representación grafica de conjuntos
Probabilidad unión
Probabilidad intersección
Probabilidad de diferencia
Probabilidad suceso contrario
¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse 5 canicas de diferente color en una línea? Factorial ¡ R= 5! 5 4 3 2 1 = 5x4=20 x3= 60X2=120 x1=120
Permutas
Ejemplo: 3 camisas, 2 pantalones, 3 pares de zapatos, ¿De cuantas maneras me puedo vestir? 3x2=6x3=18
Si en el menú hay 2 tipos de sopas, 3 platillos, 4 aguas y 2 postres.
2x3=6x4=24x2=48.
Representación grafica de conjuntos
Probabilidad unión
Probabilidad intersección
Probabilidad de diferencia
Probabilidad suceso contrario
¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse 5 canicas de diferente color en una línea? Factorial ¡ R= 5! 5 4 3 2 1 = 5x4=20 x3= 60X2=120 x1=120
Permutas
Ejemplo: 3 camisas, 2 pantalones, 3 pares de zapatos, ¿De cuantas maneras me puedo vestir? 3x2=6x3=18
Si en el menú hay 2 tipos de sopas, 3 platillos, 4 aguas y 2 postres.
2x3=6x4=24x2=48.
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Probabilidad
La probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso o medida que el número de veces que se realiza el experimento, se modifica, es la relación que guarda uno de los casos posibles o la cantidad de casos posibles.
Ejemplo: Probabilidad águila o sol, me interesa que caiga sol, ¿que probabilidad tengo?
1 probabilidad de dos (y se dice tengo un medio de probabilidad)
Ejemplo: En una bolsa tengo 5 canicas rojas, 3 verdes, 2 negras,8 amarillas, 4 azules y 5 blancas.
¿Qué probabilidad hay de sacar una roja? 5 / 27
¿Qué probabilidad hay de sacar una negra o blanca? 7 / 27
¿Qué probabilidad hay de sacar una canica que no sea roja ni azul? 18 / 27
En una urna hay núm. del 1 al 40
¿Qué probabilidad hay de sacar un numero primo? 12 / 42
¿Qué probabilidad tengo de sacar un número par? 12 / 42
¿Qué probabilidad tengo de sacar un número que sea primo o impar? 21 / 42
La probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso o medida que el número de veces que se realiza el experimento, se modifica, es la relación que guarda uno de los casos posibles o la cantidad de casos posibles.
Ejemplo: Probabilidad águila o sol, me interesa que caiga sol, ¿que probabilidad tengo?
1 probabilidad de dos (y se dice tengo un medio de probabilidad)
Ejemplo: En una bolsa tengo 5 canicas rojas, 3 verdes, 2 negras,8 amarillas, 4 azules y 5 blancas.
¿Qué probabilidad hay de sacar una roja? 5 / 27
¿Qué probabilidad hay de sacar una negra o blanca? 7 / 27
¿Qué probabilidad hay de sacar una canica que no sea roja ni azul? 18 / 27
En una urna hay núm. del 1 al 40
¿Qué probabilidad hay de sacar un numero primo? 12 / 42
¿Qué probabilidad tengo de sacar un número par? 12 / 42
¿Qué probabilidad tengo de sacar un número que sea primo o impar? 21 / 42
EJERCICIO ESTADÍSTICO
Ejemplo de estudio estadístico:
Universo: 201 de derecho U.G.M. campus Tuxpan (30 alumnos)
Muestra: 10 alumnos = 33% se hizo bajo un análisis aleatorio.
Raymundo = 8.5
Miguel = 8.0
Yaneth = 7.5
Lorena = 8.2
Santiago = 6.5
Mony = 10
Jorge = 8.9
Mary = 9.8
Alex = 9.0
Marco = 7.0
------------
TOTAL 83.4
Medidas de localización cuartil
Rangos: Hay:
1.- 6.1 – 7 II
2.- 7.1 – 8 II
3.- 8.1 – 9 IIII
4.- 9.1 – 10 II
Moda 8.1-9
Ahora sacar la media aritmética (sumar todos los promedios y dividirlos entre 10.
Ahora la mediana (Sacar el valor central la mayor y la menor)
10 – 6.5 = 8.25.
Analizar la desviación, ¿Cuál es la desviación con respecto de 8.34 que es la media?
Desviación Varianza
6.5 = 1.84 -------- 3.38
7.0 = 1.34 -------- 1.79
7.5 = 0.84 -------- 0.70
8.0 = 0.34 -------- 0.11
8.2 = 0.14 -------- 0.01
8.5 = 0.16 -------- 0.02
8.9 = 0.56 -------- 0.31
9.0 = 0.66 -------- 0.43
9.8 = 1.46 -------- 2.13
10 = 1.66 -------- 2.75
TOTALES 9 11.63
Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza = 3.410
11.63
Desviación media es 9.00 % 10 = 0.9
Universo: 201 de derecho U.G.M. campus Tuxpan (30 alumnos)
Muestra: 10 alumnos = 33% se hizo bajo un análisis aleatorio.
Raymundo = 8.5
Miguel = 8.0
Yaneth = 7.5
Lorena = 8.2
Santiago = 6.5
Mony = 10
Jorge = 8.9
Mary = 9.8
Alex = 9.0
Marco = 7.0
------------
TOTAL 83.4
Medidas de localización cuartil
Rangos: Hay:
1.- 6.1 – 7 II
2.- 7.1 – 8 II
3.- 8.1 – 9 IIII
4.- 9.1 – 10 II
Moda 8.1-9
Ahora sacar la media aritmética (sumar todos los promedios y dividirlos entre 10.
Ahora la mediana (Sacar el valor central la mayor y la menor)
10 – 6.5 = 8.25.
Analizar la desviación, ¿Cuál es la desviación con respecto de 8.34 que es la media?
Desviación Varianza
6.5 = 1.84 -------- 3.38
7.0 = 1.34 -------- 1.79
7.5 = 0.84 -------- 0.70
8.0 = 0.34 -------- 0.11
8.2 = 0.14 -------- 0.01
8.5 = 0.16 -------- 0.02
8.9 = 0.56 -------- 0.31
9.0 = 0.66 -------- 0.43
9.8 = 1.46 -------- 2.13
10 = 1.66 -------- 2.75
TOTALES 9 11.63
Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza = 3.410
11.63
Desviación media es 9.00 % 10 = 0.9
TIPOS DE GRÁFICAS MÁS USADAS
Tipos de gráficas más usadas.
Gráficas de barras verticales
Gráficas de barras horizontales
Histograma
Gráfica del pastel
Gráficas de barras verticales
Gráficas de barras horizontales
Histograma
Gráfica del pastel
VARIABLES Y MÉTODOS ESTADÍSTICOS.
Variable:
Son los indicadores o elementos de estudio
Variables cuantitativas discretas:
Son aquellas que se pueden expresar con un número entero, no fraccionar.
Variable cuantitativa continúa:
Es aquella que puede medirse en números enteros y parciales o valores intermedios.
Variables ordenables:
Son aquellas que sugieren una ordenación y que pueden ordenarse de diferente manera.
Variables no ordenables:
Son aquellas que solo admiten una forma de ordenación.
MÉTODOS:
1 Cuantitativo.- Todo lo que se cuenta.
2 Cualitativo.- Lo que se haya explotado del aprovechamiento.
3 Mixto.
Son los indicadores o elementos de estudio
Variables cuantitativas discretas:
Son aquellas que se pueden expresar con un número entero, no fraccionar.
Variable cuantitativa continúa:
Es aquella que puede medirse en números enteros y parciales o valores intermedios.
Variables ordenables:
Son aquellas que sugieren una ordenación y que pueden ordenarse de diferente manera.
Variables no ordenables:
Son aquellas que solo admiten una forma de ordenación.
MÉTODOS:
1 Cuantitativo.- Todo lo que se cuenta.
2 Cualitativo.- Lo que se haya explotado del aprovechamiento.
3 Mixto.
TIPOS DE MEDIDAS ESTADÍSTICAS
Medida de centralización:
Desviación, desviación media y la desviación típica y la varianza.
Medidas de localización:
Son las medidas coartiles (esta divide a toda la población o muestra en 4 partes iguales) se representa: Q.
Medidas deciles:
Divide a la población en 10 partes iguales se representa: dx, (si se divide en 6 partes seria textiles, etc.)
Las persentiles:
Divide la población en 100 partes iguales.
Medidas de simetría:Es cuando la distribución de frecuencias de valores tiende a hacer simétricas.
Desviación, desviación media y la desviación típica y la varianza.
Medidas de localización:
Son las medidas coartiles (esta divide a toda la población o muestra en 4 partes iguales) se representa: Q.
Medidas deciles:
Divide a la población en 10 partes iguales se representa: dx, (si se divide en 6 partes seria textiles, etc.)
Las persentiles:
Divide la población en 100 partes iguales.
Medidas de simetría:Es cuando la distribución de frecuencias de valores tiende a hacer simétricas.
MÉTODO ESTADÍSTICO. EJERCICIO. MEDIA, MEDIANA, MODA, DESVIACIÓN, ETC.
Métodos estadísticos
Los métodos gráficos de la estadística descriptiva son graficas de tendencia y la más frecuente es el histograma
Los pasos para seguir un método estadístico son:
1.- Planteamiento estadístico de la investigación.
2.- Diseñar el experimento estadístico.
3.- Reporte de la estadística descriptiva o inferencia estadística.
Ejemplo:
Edades:
18 20 Mínima 18 Rango hay
18 19 Máxima 38 18 - 21 -- (10) aquí esta la moda.
38 32 Dif 20-(+1) 22 - 25 -- ( 3) aquí esta la media.
26 34 Rango 6 26 - 29 -- (2)
34 32 Intervalos de 4 unidades 30 - 33 – (3)
19 22 (18, 19, 20, 21) 34 - 37 – (2)
20 21 (22, 23, 24, 25) 38 - 41 – (1)
25 24 (26, 27, 28, 29) -------
18 21 (30, 31, 32, 33) ∑(f) = 21 Sumatoria de la 20 26 (34, 35, 36, 37) frecuencia.
31 (38, 39, 40, 41)
La media se sacara sumando las edades y dividiendo entre el total de personas o datos que serán
El rango se saca de la diferencia entre la mínima y la máxima y se le suma 1.
Moda se encuentra entre el rango de 18 a 21.
La moda y la media se encuentran en el mismo rango o continuos.
Obtén la media y la moda en las siguientes calificaciones.
9 10 7 8 8 6 8 10.
Mínima = 6
Máxima = 10
Dif. = 4
Moda = 8
Media = 8.25
= Media aritmética de todos los datos.
X = Datos o todos los datos.
= Sumatoria de todos los datos.
n = Es la cantidad de datos.
La media aritmética se llama medida de tendencia.
Media geométrica:
Es cuando se multiplica cada uno de los datos y de les saca raíz “n” (numero total de datos)
Media armónica:
Desviación:
Es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media aritmética.
Desviación
10 = 2 1.75
9 = 1 0.75
8 = 3 0.25
7 = 1 1.25
6 = 1 2.25
Desviación media:
Toma el valor absoluto de las desviaciones, es la media o promedio de los valores absolutos de las desviaciones que sume.
6.25 % 5 = 1.25
Varianza:
Es la media de los cuadrados de las desviaciones y se representa: S
1.75 al cuadrado = 3.062
0.75 = 0.562
0.25 = 0.062
1.25 = 1.562
2.25 = 5.062
------------ -----------
D 6.25 D² = 10.31 S²x = 2.062
Desviación típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza
Varianza S²x = 2.062
Desviación típica = 1.43
Los métodos gráficos de la estadística descriptiva son graficas de tendencia y la más frecuente es el histograma
Los pasos para seguir un método estadístico son:
1.- Planteamiento estadístico de la investigación.
2.- Diseñar el experimento estadístico.
3.- Reporte de la estadística descriptiva o inferencia estadística.
Ejemplo:
Edades:
18 20 Mínima 18 Rango hay
18 19 Máxima 38 18 - 21 -- (10) aquí esta la moda.
38 32 Dif 20-(+1) 22 - 25 -- ( 3) aquí esta la media.
26 34 Rango 6 26 - 29 -- (2)
34 32 Intervalos de 4 unidades 30 - 33 – (3)
19 22 (18, 19, 20, 21) 34 - 37 – (2)
20 21 (22, 23, 24, 25) 38 - 41 – (1)
25 24 (26, 27, 28, 29) -------
18 21 (30, 31, 32, 33) ∑(f) = 21 Sumatoria de la 20 26 (34, 35, 36, 37) frecuencia.
31 (38, 39, 40, 41)
La media se sacara sumando las edades y dividiendo entre el total de personas o datos que serán
El rango se saca de la diferencia entre la mínima y la máxima y se le suma 1.
Moda se encuentra entre el rango de 18 a 21.
La moda y la media se encuentran en el mismo rango o continuos.
Obtén la media y la moda en las siguientes calificaciones.
9 10 7 8 8 6 8 10.
Mínima = 6
Máxima = 10
Dif. = 4
Moda = 8
Media = 8.25
= Media aritmética de todos los datos.
X = Datos o todos los datos.
= Sumatoria de todos los datos.
n = Es la cantidad de datos.
La media aritmética se llama medida de tendencia.
Media geométrica:
Es cuando se multiplica cada uno de los datos y de les saca raíz “n” (numero total de datos)
Media armónica:
Desviación:
Es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la media aritmética.
Desviación
10 = 2 1.75
9 = 1 0.75
8 = 3 0.25
7 = 1 1.25
6 = 1 2.25
Desviación media:
Toma el valor absoluto de las desviaciones, es la media o promedio de los valores absolutos de las desviaciones que sume.
6.25 % 5 = 1.25
Varianza:
Es la media de los cuadrados de las desviaciones y se representa: S
1.75 al cuadrado = 3.062
0.75 = 0.562
0.25 = 0.062
1.25 = 1.562
2.25 = 5.062
------------ -----------
D 6.25 D² = 10.31 S²x = 2.062
Desviación típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza
Varianza S²x = 2.062
Desviación típica = 1.43
TIPOS DE ESTADÍSTICA
La estadística se divide en dos partes:
Estadística descriptiva.- Se dedica a los métodos de recolección, análisis, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de fenómenos en estudio.
Inferencia estadística.- Se dedica a la generación de los modelos, inferencias (conclusiones) y predicciones asociadas a los fenómenos teniendo en cierta aleatoriedad de las observaciones.
Estadística descriptiva.- Se dedica a los métodos de recolección, análisis, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de fenómenos en estudio.
Inferencia estadística.- Se dedica a la generación de los modelos, inferencias (conclusiones) y predicciones asociadas a los fenómenos teniendo en cierta aleatoriedad de las observaciones.
INTRODUCCIÓN A ESTADÍSTICA Y CONCEPTOS
Estadística.
Es el área de las matemáticas referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en un fenómeno tipo aleatorio.
Universo.-Es la información total cuantitativa, todo el objeto de estudio.
Muestra.-
Es una parte del universo y se maneja de manera proporcional no menos del 20%
Rango.-
Es la delimitación es decir fraccionar la muestra o fraccionar el rango.
Intervalo.-Es la diferencia que hay entre rangos o límites.
Frecuencia.-Es la cantidad de veces que se repite un dato o un rango.
Moda.-Es el dato que se repite con mayor frecuencia.
Medidas de tendencia.-
Son aquellos análisis que brindan la anticipación de un suceso probable.
Ciencias afines con mayor relación a la estadística son:
Historia, C. Sociales, Áreas de negocios, Disciplinas de control de calidad,
y se emplea en mayor medida en instituciones educativas y gubernamentales.
La estadística descriptiva y la estadística inferencial son parte de la estadística aplicada.
La estadística parte de la teoría de la probabilidad.
Pierre de Fermal y Blaise Pascal fueron unos de los primeros en realizar estudios de la probabilidad.
Christian Hugens fue uno de los primeros que realizaron estudios estadísticos.
Es el área de las matemáticas referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en un fenómeno tipo aleatorio.
Universo.-Es la información total cuantitativa, todo el objeto de estudio.
Muestra.-
Es una parte del universo y se maneja de manera proporcional no menos del 20%
Rango.-
Es la delimitación es decir fraccionar la muestra o fraccionar el rango.
Intervalo.-Es la diferencia que hay entre rangos o límites.
Frecuencia.-Es la cantidad de veces que se repite un dato o un rango.
Moda.-Es el dato que se repite con mayor frecuencia.
Medidas de tendencia.-
Son aquellos análisis que brindan la anticipación de un suceso probable.
Ciencias afines con mayor relación a la estadística son:
Historia, C. Sociales, Áreas de negocios, Disciplinas de control de calidad,
y se emplea en mayor medida en instituciones educativas y gubernamentales.
La estadística descriptiva y la estadística inferencial son parte de la estadística aplicada.
La estadística parte de la teoría de la probabilidad.
Pierre de Fermal y Blaise Pascal fueron unos de los primeros en realizar estudios de la probabilidad.
Christian Hugens fue uno de los primeros que realizaron estudios estadísticos.
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables
Binomios con término común. (x+a) (x+b)
Binomios conjugados. (a-b) (a+b)
Binomios con término no común. (ax+b) (cx+d)
Binomio al cuadrado. (a+b)²
Binomio al cubo. (a+b)³
El resultado de un binomio con término común es: un trinomio de la forma.
El resultado de un binomio conjugado es: la diferencia de cuadrados.
El resultado de un binomio con término no común es: un trinomio de la forma.
El resultado de un binomio al cuadrado es: un trinomio cuadrado perfecto.
El resultado de un binomio al cubo es: polinomio con cuatro términos de la forma.
Binomios con término común. (x+a) (x+b)
Binomios conjugados. (a-b) (a+b)
Binomios con término no común. (ax+b) (cx+d)
Binomio al cuadrado. (a+b)²
Binomio al cubo. (a+b)³
El resultado de un binomio con término común es: un trinomio de la forma.
El resultado de un binomio conjugado es: la diferencia de cuadrados.
El resultado de un binomio con término no común es: un trinomio de la forma.
El resultado de un binomio al cuadrado es: un trinomio cuadrado perfecto.
El resultado de un binomio al cubo es: polinomio con cuatro términos de la forma.
INTRODUCCIÓN A ECUACIONES
Expresión matemática.- Es la representación de un valor y puede contener operaciones.
Expresión algebraica.- Es la representación de un valor conteniendo valores constantes y variables.
Ecuación.- Es la igualdad entre expresiones algebraicas y aritméticas.
Sistema de ecuaciones.- Es la interacción entre variables y sus ecuaciones, es cuando tenemos dos ecuaciones o mas y sus variables valen lo mismo.
Expresión algebraica.- Es la representación de un valor conteniendo valores constantes y variables.
Ecuación.- Es la igualdad entre expresiones algebraicas y aritméticas.
Sistema de ecuaciones.- Es la interacción entre variables y sus ecuaciones, es cuando tenemos dos ecuaciones o mas y sus variables valen lo mismo.
SISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2
Resolución sistema de ecuaciones 2 x 2
Método de igualación y sustracción.
Juan compró en la tienda 2 refrescos y 3 bolsas de sabritas y gastó $ 29, María compró en la tienda 1 bolsa de sabritas y 2 refrescos y gastó $ 19.
Sabritas Y = ? refrescos X = ?
Juan 2x + 3y = 29
María 2x + y =19
1er. Paso es saber con cual variable voy a operar.
2x + 3y = 29
ˉ (2x) + y = 19 se restan las ecuaciones
¯¯¯¯ + 2y = 10
y =10/2
y = 5
Ahora sustituimos
2x + y = 19
2x + 5 = 19
2x = 19 – 5
2x = 14
X = 7
Método de igualación y sustracción.
Juan compró en la tienda 2 refrescos y 3 bolsas de sabritas y gastó $ 29, María compró en la tienda 1 bolsa de sabritas y 2 refrescos y gastó $ 19.
Sabritas Y = ? refrescos X = ?
Juan 2x + 3y = 29
María 2x + y =19
1er. Paso es saber con cual variable voy a operar.
2x + 3y = 29
ˉ (2x) + y = 19 se restan las ecuaciones
¯¯¯¯ + 2y = 10
y =10/2
y = 5
Ahora sustituimos
2x + y = 19
2x + 5 = 19
2x = 19 – 5
2x = 14
X = 7
PROBLEMAS ALGEBRAICOS SENCILLOS
Problemas
a = 3 b = c = 5
a² + b = 13
(3)² + b = 13
a + b = 13
b + 13 – 9
b = 4
a 4c/b =8
3 + 4(5)/b = 8
4 (5)/b = 8 – 3
20/b = 5
20 = 5b
5b = 20
b = 4
X vale 2
6x³ + 9x² + 3x/3x =
Simplifico y luego sustituyo
2x² + 3x + 1 =
2 (4) + 6 + 1 =
8 + 6 + 1 = 15
a = 3 b = c = 5
a² + b = 13
(3)² + b = 13
a + b = 13
b + 13 – 9
b = 4
a 4c/b =8
3 + 4(5)/b = 8
4 (5)/b = 8 – 3
20/b = 5
20 = 5b
5b = 20
b = 4
X vale 2
6x³ + 9x² + 3x/3x =
Simplifico y luego sustituyo
2x² + 3x + 1 =
2 (4) + 6 + 1 =
8 + 6 + 1 = 15
LENGUAJE ALGEBRAICO
Lenguaje algebraico
Un número sumado a otro a + b
Un número sumado con el mismo a + a
El doble de un número 2 a
El doble de la suma de dos números diferentes 2 (a+b)
La mitad de un numero a/2
La tercera parte del doble de un numero 2a/3
La dif. del doble de un numero y el triple de otro 2a – 3b
El producto del doble de un número y ocho unidades 2a (8)
Un número disminuido en cinco unidades a – 5
La cuarta parte del doble de la suma de dos números 2(a+b)/4
El cociente del producto de dos números y la diferencia ab/a-b
El producto de un número aumentado en cinco unidades con el mismo numero disminuido en cinco unidades (a+5) (a-5)
El cuadrado de la suma de un numero y diez unidades (a+10)²
a-b/2 = La mitad de la diferencia de dos números
2n + 1 = El doble de un numero mas uno
2 a / 7 = La séptima parte del doble de un numero
(b – 1)³ = El cubo de un numero disminuido a una unidad
4 (n + 2) = El cuádruple de un numero aumentado a dos unidades
(x² + 1)/x³ -1 =La diferencia del cociente del cuadrado de número aumentado en una unidad y el cubo del mismo número, con otra unidad
(2n -1) / n+3= El cociente del doble de número disminuido en una unidad y el mismo número aumentado en tres unidades
5 x – 1 = La diferencia de quíntuplo de un numero reducido a una unidad
Un número sumado a otro a + b
Un número sumado con el mismo a + a
El doble de un número 2 a
El doble de la suma de dos números diferentes 2 (a+b)
La mitad de un numero a/2
La tercera parte del doble de un numero 2a/3
La dif. del doble de un numero y el triple de otro 2a – 3b
El producto del doble de un número y ocho unidades 2a (8)
Un número disminuido en cinco unidades a – 5
La cuarta parte del doble de la suma de dos números 2(a+b)/4
El cociente del producto de dos números y la diferencia ab/a-b
El producto de un número aumentado en cinco unidades con el mismo numero disminuido en cinco unidades (a+5) (a-5)
El cuadrado de la suma de un numero y diez unidades (a+10)²
a-b/2 = La mitad de la diferencia de dos números
2n + 1 = El doble de un numero mas uno
2 a / 7 = La séptima parte del doble de un numero
(b – 1)³ = El cubo de un numero disminuido a una unidad
4 (n + 2) = El cuádruple de un numero aumentado a dos unidades
(x² + 1)/x³ -1 =La diferencia del cociente del cuadrado de número aumentado en una unidad y el cubo del mismo número, con otra unidad
(2n -1) / n+3= El cociente del doble de número disminuido en una unidad y el mismo número aumentado en tres unidades
5 x – 1 = La diferencia de quíntuplo de un numero reducido a una unidad
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Propiedades de la igualdad
P. Reflexiva.- P(x) = P (x)
P. Simétrica.- P(x) = q(x) entonces q(x) = P(x)
P. Transitiva.- P(x) = q(x) = q(x) = r(x), entonces q(x) = r(x)
Monotonía de la suma.-
P(x) = q(x)
P(x) + r(x) = q(x) + r(x)
5 x 2 = 10
(5 x 2)+2 = 10 + 2
Monotonía de la multiplicación
P(x) = q(x)
P(x) [r(x)] = q(x) [r(x)]
5 x 2 = 10
(5 x 2)² = 10 (2)
Monotonía quiere decir que lo que se suma o reste, multiplique, etc. De un lado se hace lo mismo del otro lado.
P. Reflexiva.- P(x) = P (x)
P. Simétrica.- P(x) = q(x) entonces q(x) = P(x)
P. Transitiva.- P(x) = q(x) = q(x) = r(x), entonces q(x) = r(x)
Monotonía de la suma.-
P(x) = q(x)
P(x) + r(x) = q(x) + r(x)
5 x 2 = 10
(5 x 2)+2 = 10 + 2
Monotonía de la multiplicación
P(x) = q(x)
P(x) [r(x)] = q(x) [r(x)]
5 x 2 = 10
(5 x 2)² = 10 (2)
Monotonía quiere decir que lo que se suma o reste, multiplique, etc. De un lado se hace lo mismo del otro lado.
REGLAS ALGEBRAICAS
Reglas algebraicas.
a + a = 2a
a + b = a + b = b + a
(a + b) (a + b) = 2 (a + b) = 2ª +2b
(a) a = a²
a/a = 1
a/b = (a) bˉ¹
a²+ a² = 2a²
a² + a³ = a²+ a³= a³ + a²
a² + b² = b² + a² = (a+b)²
(a²)³ = a²•³ = aۀ
√aۀ = aۀ/² = a³
(a³ + b²)² = a³•² + b²•²= aۀ + b
a³ + b² / a³ + b² = 1
a (b) = ab = ba
a² (b³) c = a² b³ c
a + a = 2a
a + b = a + b = b + a
(a + b) (a + b) = 2 (a + b) = 2ª +2b
(a) a = a²
a/a = 1
a/b = (a) bˉ¹
a²+ a² = 2a²
a² + a³ = a²+ a³= a³ + a²
a² + b² = b² + a² = (a+b)²
(a²)³ = a²•³ = aۀ
√aۀ = aۀ/² = a³
(a³ + b²)² = a³•² + b²•²= aۀ + b
a³ + b² / a³ + b² = 1
a (b) = ab = ba
a² (b³) c = a² b³ c
INTRODUCCIÓN A ÁLGEBRA
Algebra.
Es la parte de las matemáticas que se encarga de las operaciones con valores constantes y variables.
a = ella variable
b = yo con valor
Ejemplo:
a = b - 11
b = a +11
a = b
b = 20 + 11
a = 31
Es la parte de las matemáticas que se encarga de las operaciones con valores constantes y variables.
a = ella variable
b = yo con valor
Ejemplo:
a = b - 11
b = a +11
a = b
b = 20 + 11
a = 31
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Notación científica.
Sirve para expresar cantidades demasiado grandes o demasiado pequeñas en forma abreviada.
Si se multiplica por una potencia positiva se corre el punto decimal a la derecha.
2.34 x 1014 = 234000000000000
Si se multiplica por una potencia negativa se corre el punto decimal a la izquierda.
2.34 x 10ˉ14= 0.0000000000000234
0.31 x 10ˉ3 = 0.00031
430x10 5 = 43000000
430 x 10ˉ³ = 0.430
8.947 x 10 7 = 89470000
0.00004 x 10 6 = 400
4.008 x 10ˉ7= 0.0000004008
Sirve para expresar cantidades demasiado grandes o demasiado pequeñas en forma abreviada.
Si se multiplica por una potencia positiva se corre el punto decimal a la derecha.
2.34 x 1014 = 234000000000000
Si se multiplica por una potencia negativa se corre el punto decimal a la izquierda.
2.34 x 10ˉ14= 0.0000000000000234
0.31 x 10ˉ3 = 0.00031
430x10 5 = 43000000
430 x 10ˉ³ = 0.430
8.947 x 10 7 = 89470000
0.00004 x 10 6 = 400
4.008 x 10ˉ7= 0.0000004008
MÁXIMO Y mínimo COMÚN MÚLTIPLO
Máximo Común Múltiplo
¿Como se obtiene el máximo común múltiplo?
Multiplicando los denominadores, sean dos o mas denominadores.
4/2 + 5/3 = 12 + 10 / 6 = 22/6
3/3 + 2/7 – 5/4 = 84 + 24 – 105 /84 = 3/84 = 0.035
Mínimo común múltiplo
¿Cómo se obtiene el mínimo común múltiplo?
1.- Detectar si hay alguno que sea múltiplo de los demás.
1/3 + 3/6 – 4/18 = 6 + 9 – 4 / 18 = 11 / 18 = 0.611.
2.- Multiplicar los dos números mas pequeños y dividirlos entre el tercero.
1/3 + 3/6 – 2/9 = 6 + 9 – 4 / 18 = 11/8.
3.- Multiplicar dos de los tres denominadores en cualquiera de sus posibilidades y
Saber si es múltiplo del otro denominador.
1/3 – 3/6 + 5/8 = 8 – 12 + 15 / 24 = 1/24 = 0.45.
¿Como se obtiene el máximo común múltiplo?
Multiplicando los denominadores, sean dos o mas denominadores.
4/2 + 5/3 = 12 + 10 / 6 = 22/6
3/3 + 2/7 – 5/4 = 84 + 24 – 105 /84 = 3/84 = 0.035
Mínimo común múltiplo
¿Cómo se obtiene el mínimo común múltiplo?
1.- Detectar si hay alguno que sea múltiplo de los demás.
1/3 + 3/6 – 4/18 = 6 + 9 – 4 / 18 = 11 / 18 = 0.611.
2.- Multiplicar los dos números mas pequeños y dividirlos entre el tercero.
1/3 + 3/6 – 2/9 = 6 + 9 – 4 / 18 = 11/8.
3.- Multiplicar dos de los tres denominadores en cualquiera de sus posibilidades y
Saber si es múltiplo del otro denominador.
1/3 – 3/6 + 5/8 = 8 – 12 + 15 / 24 = 1/24 = 0.45.
PORCENTAJES REGLA DE 3
Porcentajes.
Hay dos formas de sacar el porcentaje % de una cantidad.
100 ⁄ 100 = 1
Tomar el 23% de 100 = dividir (100 / 000) 23 = (1) (23) = 23
1.- De 38 alumnos reprobaron 14 ¿Qué porcentaje reprobó?
(14/38) 100 = (0.36842) 100 = 36.84 %
2.- Una blusa cuesta $ 475.00 y tiene un descuento del 18 %, que es…
(475/100) 18 = (4.75) 18 = 85.5. El valor real de la blusa es $ 389.5
3.- El sueldo de un empleado es de $ 1893.00 y el descuento del I.S.R. es del 13%.
Regla de 3: 1893 100% Es igual a 1893 * 13 / 100 = 246.09
= 246.09 13%
4.- 200 100%
25 = 12.5
5.- 200 100%
40 20%
Hay dos formas de sacar el porcentaje % de una cantidad.
100 ⁄ 100 = 1
Tomar el 23% de 100 = dividir (100 / 000) 23 = (1) (23) = 23
1.- De 38 alumnos reprobaron 14 ¿Qué porcentaje reprobó?
(14/38) 100 = (0.36842) 100 = 36.84 %
2.- Una blusa cuesta $ 475.00 y tiene un descuento del 18 %, que es…
(475/100) 18 = (4.75) 18 = 85.5. El valor real de la blusa es $ 389.5
3.- El sueldo de un empleado es de $ 1893.00 y el descuento del I.S.R. es del 13%.
Regla de 3: 1893 100% Es igual a 1893 * 13 / 100 = 246.09
= 246.09 13%
4.- 200 100%
25 = 12.5
5.- 200 100%
40 20%
EJERCICIOS CON JERARQUÍA DE OPERACIONES
1.- {2 [(2 + 3 – 5)² + √25 + (2 * 2 / 1) – (5 * 8 / 2) (9 + 5)]} (2² + 1)=
{2 [(0) + 5 + (4) – (20) (14)]} (5) =
[2 (5 + 4 – 280)] 5 =
[2 (-271)] 5 =
(-542) 5 =
-2710.
2.- {√25 [(7+5*2)³ +3 (3*3) – (20/5)]} (9-2) =
{5 [(17)³+ 3 (9) – (4)]} (7) =
[5 (4913) + 27 – 4] (7) =
(24565 + 27 – 4) (7) =
(24588) (7) =
172,116.
3.- {8 [9-4+6)² + √36 + (9*2/2) – (60*2/4) (9+1)]} (4²-2) =
{8 [21 + 6 + 9 – (30) (10)]} (14) =
[8 (136 – 300)] (14) =
[8 (-164) (14) =
(-1312) (14) =
-18368.
4.- {(√4*3) [(10+15) (5*12)² + √16 – (16-4*3)]} / 6 =
{(6) [(25) (3600) + 4 – 4]} / 6 =
[(6) (9000) 0] / 6 =
9000.
{2 [(0) + 5 + (4) – (20) (14)]} (5) =
[2 (5 + 4 – 280)] 5 =
[2 (-271)] 5 =
(-542) 5 =
-2710.
2.- {√25 [(7+5*2)³ +3 (3*3) – (20/5)]} (9-2) =
{5 [(17)³+ 3 (9) – (4)]} (7) =
[5 (4913) + 27 – 4] (7) =
(24565 + 27 – 4) (7) =
(24588) (7) =
172,116.
3.- {8 [9-4+6)² + √36 + (9*2/2) – (60*2/4) (9+1)]} (4²-2) =
{8 [21 + 6 + 9 – (30) (10)]} (14) =
[8 (136 – 300)] (14) =
[8 (-164) (14) =
(-1312) (14) =
-18368.
4.- {(√4*3) [(10+15) (5*12)² + √16 – (16-4*3)]} / 6 =
{(6) [(25) (3600) + 4 – 4]} / 6 =
[(6) (9000) 0] / 6 =
9000.
PROPIEDADES DE OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Propiedades de operaciones:
1.- Asociativas: {[( )]} 2 + 3 – (4 * 5)= 5 – 20 = 15
2.- Distributiva: 2 (5 + 3) = 2 (5) + 2 (3)
3.- Conmutativa: 2 + 3 = 3 + 2, 2 + 3 – 5 = -5 + 3 + 2, 3 * 5 / 3 = 5 * 3 / 3
4.- Inverso aditivo: 2 -2 = 0 -5 + 5 = 0 Para todo numero hay un inverso que lo neutraliza o sea que lo lleva a cero.
5.- Elemento neutro: 5 * 1 = 5, 5 / 1 = 5. Cualquier número multiplicado por uno o dividido por uno conserva su mismo valor.
1.- Asociativas: {[( )]} 2 + 3 – (4 * 5)= 5 – 20 = 15
2.- Distributiva: 2 (5 + 3) = 2 (5) + 2 (3)
3.- Conmutativa: 2 + 3 = 3 + 2, 2 + 3 – 5 = -5 + 3 + 2, 3 * 5 / 3 = 5 * 3 / 3
4.- Inverso aditivo: 2 -2 = 0 -5 + 5 = 0 Para todo numero hay un inverso que lo neutraliza o sea que lo lleva a cero.
5.- Elemento neutro: 5 * 1 = 5, 5 / 1 = 5. Cualquier número multiplicado por uno o dividido por uno conserva su mismo valor.
JERARQUÍA DE OPERACIONES
Jerarquía de operaciones
1er. Lugar Potenciación nⁿ y radicación ⁿ√
2do. Lugar Multiplicación * y división ÷
3er. Lugar Suma + y resta -
1er. Lugar Potenciación nⁿ y radicación ⁿ√
2do. Lugar Multiplicación * y división ÷
3er. Lugar Suma + y resta -
SIGNOS DE OPERACIÓN Y OPERACIONES INVERSAS
Signos de operación:
Suma +
Resta –
Multiplicación x . ( ) * [ ] { }
División / ― ÷ √
Potenciación nⁿ
Radicación ⁿ√
Operaciones Inversas
Suma Resta
Multiplicación División
Potenciación radicación
Suma +
Resta –
Multiplicación x . ( ) * [ ] { }
División / ― ÷ √
Potenciación nⁿ
Radicación ⁿ√
Operaciones Inversas
Suma Resta
Multiplicación División
Potenciación radicación
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES
cifra. Ejemplo: 23.3 = 23 enteros 3 décimas.
23.32 = 23 enteros 32 centésimas.
23.328 = 23 enteros 328 milésimas.
23. 3′ 2 8 6, 7 8 6 ′ 5 0 3, 4 2 3 ′ 1 9 8, 7 0 3.
23 enteros
3 décimas
2 centésimas
8 milésimas
6 diezmilésimas
7 cienmilésimas
8 millonésimas
6 diezmillonésimas
5 cienmilmillonésimas
0 milmillonésimas
3 diezmilmillonésimas
4 cienmilmillonésimas
2 billonésimas
3 diezbillonésimas
1 cienbillonésimas
9 milbillonésimas
8 diezmilbillonésimas
7 cienmilbillonésimas
0 trillonésimas
3 dieztrillonésimas
Se lee: Veintitrés enteros, tres trillones doscientos ochenta y seis mil setecientos ochenta y seis billones quinientos tres mil cuatrocientos veintitrés millones ciento noventa y ocho mil setecientos tres dieztrtillonésimas.
23.32 = 23 enteros 32 centésimas.
23.328 = 23 enteros 328 milésimas.
23. 3′ 2 8 6, 7 8 6 ′ 5 0 3, 4 2 3 ′ 1 9 8, 7 0 3.
23 enteros
3 décimas
2 centésimas
8 milésimas
6 diezmilésimas
7 cienmilésimas
8 millonésimas
6 diezmillonésimas
5 cienmilmillonésimas
0 milmillonésimas
3 diezmilmillonésimas
4 cienmilmillonésimas
2 billonésimas
3 diezbillonésimas
1 cienbillonésimas
9 milbillonésimas
8 diezmilbillonésimas
7 cienmilbillonésimas
0 trillonésimas
3 dieztrillonésimas
Se lee: Veintitrés enteros, tres trillones doscientos ochenta y seis mil setecientos ochenta y seis billones quinientos tres mil cuatrocientos veintitrés millones ciento noventa y ocho mil setecientos tres dieztrtillonésimas.
Clasificación de los números
Números naturales.- Es aquel que utilizamos para contar lo que hay en la naturaleza. (1 - 9).
Números primos.- Únicamente son divisibles entre ellos mismos y el 1 y el resultado queda entero. ( 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…)
Números reales.- Son aquellos que utilizamos para hacer cualquier tipo de explicación cuantitativa.
Números racionales.- Es la relación entre dos números, es un quebrado, una fracción. ¿Que relación hay en una fotografía y la realidad? La escala.
Números irracionales.- Es cuando el cociente se transforma en un numero decimal periódico, cíclico o infinito. Ej. 1 / 3 = 0.3333333333333333 y al multiplicar este resultado por 3 = 0.9999999999999999999.
Números pares.- Son aquellos que son divisibles entre dos.
Números impares.- Son aquellos que no son divisibles entre dos.
Números decimales.- Son números que fácilmente son divisibles, multiplicables en base 10. Ej. 10¹ = 10.
10² = 10 X 10 = 100.
10³ = 10 X 10 X10 = 1000.
Antes del punto son enteros y después del punto se lee de acuerdo a la última
Números primos.- Únicamente son divisibles entre ellos mismos y el 1 y el resultado queda entero. ( 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…)
Números reales.- Son aquellos que utilizamos para hacer cualquier tipo de explicación cuantitativa.
Números racionales.- Es la relación entre dos números, es un quebrado, una fracción. ¿Que relación hay en una fotografía y la realidad? La escala.
Números irracionales.- Es cuando el cociente se transforma en un numero decimal periódico, cíclico o infinito. Ej. 1 / 3 = 0.3333333333333333 y al multiplicar este resultado por 3 = 0.9999999999999999999.
Números pares.- Son aquellos que son divisibles entre dos.
Números impares.- Son aquellos que no son divisibles entre dos.
Números decimales.- Son números que fácilmente son divisibles, multiplicables en base 10. Ej. 10¹ = 10.
10² = 10 X 10 = 100.
10³ = 10 X 10 X10 = 1000.
Antes del punto son enteros y después del punto se lee de acuerdo a la última
INTRODUCCIÓN
I n t r o d u c c i ó n
Esta materia como su nombre lo dice “Habilidades del pensamiento”, nos enseña a mantener la mente diestra, competente, experta, una mente ingeniosa, que siempre encuentre la manera de solucionar toda clase de problemas, por muy largos o complicados que se vean y de cualquier índole ya sean: matemáticos, físicos, químicos, problemas diarios, etcétera, todo tipo de dificultad, siempre buscar y encontrar el procedimiento para darle salida.
Y que a pesar de ver puertas cerradas, encontrar la que este abierta, o dar con la llave.
Esta doctrina nos ilustra a superar cualquier obstáculo en nuestra vida cotidiana y es y será de mucho auxilio en nuestra carrera.
María De Jesús Castillo De Los Ríos.
Esta materia como su nombre lo dice “Habilidades del pensamiento”, nos enseña a mantener la mente diestra, competente, experta, una mente ingeniosa, que siempre encuentre la manera de solucionar toda clase de problemas, por muy largos o complicados que se vean y de cualquier índole ya sean: matemáticos, físicos, químicos, problemas diarios, etcétera, todo tipo de dificultad, siempre buscar y encontrar el procedimiento para darle salida.
Y que a pesar de ver puertas cerradas, encontrar la que este abierta, o dar con la llave.
Esta doctrina nos ilustra a superar cualquier obstáculo en nuestra vida cotidiana y es y será de mucho auxilio en nuestra carrera.
María De Jesús Castillo De Los Ríos.
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